JOEL PRO

CHAPITRE 1 : AJUSTEMENT LINÉAIRE

pour le cours vidéo et exercice corrigé, cliquez ici https://youtu.be/r3G1fGhz0gI (la méthode de mayer), https://youtu.be/WBwARjhbF20 (points extrêmes); https://youtu.be/uR710pAS5ms (moindres carrés).

I- DÉFINITION

L'ajustement linéaire consiste à construire une courbe qui soit située le plus près possible des points réels pour satisfaire à l'impératif de régularité. En d'autres mots, le problème de l'ajustement linéaire consiste à étudier deux variables x et y .

X est appelé variable expliquée et y est appelé variable explicative. Aussi les hommes de statistique s'efforcent de trouver algébriquement et graphiquement s'il existe une relation entre x et y ; à cet effet il peut utiliser :

a- L'ajustement graphique

b- L'ajustement mécanique

c- L'ajustement analytique

I-1) L'ajustement graphique

C'est un diagramme de dispersion qui représente tous les points de la série statistique. Ces points constituent le nuage des points. Le statisticien y trace une courbe aussi simple que possible qui traverse le nuage de points et le partage en deux parties comprenant sensiblement de mêmes nombres de points

Remarque : il est plus facile de tracer la courbe dans ces nuages ??de points effilés que celui se présentant sous forme de disque. On y place généralement le point G qui représente le couple (áºŒ; á¿©)

Application

Les ventes d'un produit au cours des dix années sont consignées dans le tableau suivant :

VOYAGE A FAIRE

1) représente le nuage de points de cette série statistique

2) déterminer les coordonnées du point G

I-2) l'ajustement mécanique

I-2-1) Principe

L'ajustement mécanique consiste à ajuster mécaniquement au nuage de point de coordonnées xi yi une droite de la forme y = ax + b minimisant autant que possible l'existence des points de partie et d'autre de la droite.

Son objectif est d'obtenir rapidement une prévision du phénomène observé par projection ainsi nous retrouverons la méthode des moyennes échelonnées, la méthode des moyennes mobiles et aussi la méthode des totaux mobiles.

I-2-2) Méthode des moyennes

a- Principe

Il consiste à dresser la série statistique en sous ensemble de trois, cinq observations selon l'ordre défini et à représenter en abscisse les points médian xi et en ordonné les points moyens Yi

b-Candidature

La production agricole d'un pays a évolué de la manière suivante au cours des 9 années

TAFÂ : procéder à l'ajustement par la méthode des moyennes échelonnées. (Tenir compte de trois observations)

I-2-3) Méthode des moyennes mobiles

a- Principe

Il consiste graphiquement un nuage de point auxiliaire que nous allons appeler Xi Yi constitué en abscisse par les observations Xi Â correspondant à observer la 1 ^ère et la dernière observation et en ordonnée par les moyennes mobiles Yi.

b-Candidature

Reprenons le cas précédent et procédons à la méthode des moyennes mobiles et représentons

solution :

I-2-4) Total mobiles

a- Principe

Cette méthode se combine efficacement dans le cas des séries chronologiques ; la prise en compte d'une variation saisonnière et la recherche d'une tendance générale.

L'application de cette méthode consiste après avoir fixé la valeur du paramètre X à remplacer chaque observation par le total des n dernières observations. Le nombre de totaux mobiles à étudier porte sur plusieurs années, le total des observations de la première année forme le premier total (la valeur du paramètre X est égale au nombre d'observation de la première année) par exemple : X = 12 si les observations sont mensuelles ; X = 2 si elles sont semestrielles.

b-Candidature

Les ventes mensuelles en 1000 FCFA pour les exercices de 1999 et 2000 se présentent comme suit :

TAF : établir le tableau des totaux mobiles

Remarque : si vous demandez de représenter ou d'ajuster les totaux mobiles, le procédé est le même que les moyennes mobiles et échelonnées.

Les totaux mobiles trimestriels

Tableau d'exploitation :

Application :

Le tableau ci-après présente les ventes trimestrielles d'une entreprise sur une période de 5ans

Travail à faire :

A partir d'un tableau présenter les totaux mobiles trimestriels

Critique : les ajustements graphiques et mécaniques permettent de déterminer la tendance générale du phénomène observé mais ils sont assez imprécis, c'est pour cela qu'il est préférable de procéder à l'ajustement analytique.

I-3) Ajustement analytique

Le statisticien ne résout plus le problème graphiquement ou mécaniquement mais il s'efforce de déterminer les paramètres de la fonction Y = f(x) dont la courbe représentative passera par les points ajustés.

Il existe trois méthodes

La méthode des points extrêmes
La méthode de la double moyennes ou MAYER ou méthode des points médians
La méthode des moindres carrés.

I-3-1) Méthode des points extrêmes

I-3-1-1) Principe

Cette méthode consiste à ajuster au nuage de points Xi Yi une droite de la forme Y = ax + b passant par les deux points extrêmes M (X1 ; Y1) et N (Xn ; Yn)

En ce qui concerne les séries chronologiques, les points M et N représentent les deux extrémités. Pour les séries spéciales, les points M et N représentent les valeurs les moins élevées et celles les plus élevées.

Le statisticien s'applique à déterminer les valeurs du coefficient directeur a et de la constante b par la résolution du système d'équation suivante :