CHAPITRE : LES CARACTERISTIQUES DE POSITION

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Selon l'usage courant, toutes les mesures de tendance centrale ou de position méritent le nom de moyenne. Lorsqu'on parle de moyenne, on pense à la moyenne arithmétique ; mais il existe d'autres types de moyennes, chacune d'entre elles ayant la propriété de conserver une caractéristique de l'ensemble quand on remplace chaque élément de l'ensemble par cette valeur unique ; chaque moyenne n'a donc d'intérêt que pour autant que cette propriété soit utile. Nous allons parler tour à tour dans ce chapitre des indicateurs tels que :

• La moyenne
• Le mode
• La médiane
• Les quantiles

• La moyenne

On appelle moyenne la somme de toutes les données statistiques divisées par nombre de ces données. Nous pouvons avoir plusieurs types de moyennes telles que :

1. La moyenne arithmétique

Cette moyenne conserve la somme totale des valeurs enregistrées : si on modifie les valeurs de deux observations d'une série statistique tout en conservant leur somme, la moyenne de la série sera identique.

Soit la série statistique de données brutes : x ₁ , …, x _i, …, x _n , sa moyenne arithmétique a pour expression : x=   ou x = (caractère qualitatif)

 

Ni fois

Bien entendu, si une valeur x _i de x est enregistrée n _i fois, comme : x ₁ + x _i + x _n = n _i *x _i , la formule précédente dévient : x=   ou x =

 

Avec N = ∑x _i (caractère quantitatif discret)

Dans un caractère quantitatif continue nous aurons :

X=   ou x =   dans l'intervalle [a ; b[→ci =

1. La moyenne géométrique

C'est la moyenne applicable aux mesures de grandeurs dont la croissance est géométrique ou exponentielle.

Elle conserve le produit des x _i  ; si on modifie les valeurs de deux observations tout en conservant leur produit, la moyenne géométrique sera améliorée.

La moyenne géométrique (G) de la série de valeurs x ₁ , …, x _i, …, x _n , supposées toutes strictement positives est définie ainsi :

G =   ou ln (G) = cas d'un caractère qualitatif

Lorsque la distribution de la variable statistique est donnée par les k couples (x _i  ; n _i ), les x _i étant tous positifs ; la moyenne géométrique a pour expression :

G =   ou ln (G) = (caractère quantitatif discret)

G =   ou ln (G) = (caractère quantitatif continu)

1. La moyenne harmonique (H)

La moyenne harmonique est l'inverse de la moyenne arithmétique des inverses des valeurs. L'inverse de la moyenne harmonique conserve ainsi la somme des inverses des x _i  : si on modifie les valeurs de deux observations tout en conservant la somme de leurs inverses, la moyenne harmonique sera sélectionnée. Elle a pour expression :

H = cas d'un caractère qualitatif (formule simple)

H = cas d'un caractère quantitatif discret (formule pondérée)

H = cas d'un caractère quantitatif continu (formule pondérée)

1. La moyenne quadratique (Q)

Formulation

Q = cas d'un caractère qualitatif

Q = cas d'un caractère quantitatif discret

Q = cas d'un caractère quantitatif continu

REMARQUE  : le calcul de ces moyennes doit respecter l'ordre suivant : H ≤ G ≤ X ≤ Q

Applications :

• Le mode

1. Définition

Le mode est la valeur du caractère qui a le plus grand effectif ou la plus grande fréquence.

La classe modale est la classe de la modalité qui renvoie au mode.

1. Détermination par calcul

Pour déterminer le mode, on doit tenir compte du type de caractère :

• Dans un caractère quantitatif discret, on prend la modalité qui a le plus grand effectif.

Exemple : soit le tableau suivant :

Moyenne/20	5	dix	15	20
effectifs	3	14	7	1

Le mode sera 10 car cette modalité a le plus grand effectif donc 14 .

• Dans un caractère quantitatif continu, le mode s'obtient en déterminant d'abord le centre de classe (Ci) ensuite on prend Ci qui a le plus grand effectif. Exemple : soit le tableau suivant :

Moyenne/20	[0 ; 5[	[5 ; dix[	[dix ; 15[	[15 ; 20[
effectifs	0	3	14	8

La classe modale est : [10 ; 15[ ; Ci =  et le mode est 12,5 car cette classe détient le plus grand effectif.

NB : lorsque les amplitudes sont inégales, il faut au préalable corriger les effectifs afin de déterminer le mode comme l'indique l'exemple précédent.

1. Détermination par interpolation algébrique

Pour déterminer le mode par interpolation algébrique il faut poser l'expression suivante :

M _o = x ₁ + (x ₂ – x ₁ )   avec  : N – N ₁ et  : N – N ₂

1. Détermination par interpolation graphique

Ici il suffit tout simplement de lire sur le graphique (l'histogramme) où se situe le mode et interpoler avec les valeurs qui l'entourent.

Application 

Soit le tableau statistique suivant :

Classe des salaires	Effectifs
[150 – 160[	11
[160 – 170[	26
[170 – 185[	63
[185 – 190[	81
[190 – 200[	35
[200 – 205[	21
[205 – 201[	13
Total	250

Travail à faire :

1. Déterminez le mode de cette série statistique de trois manières :

• Par calcul (algébriquement)
• Par interpolation linéaire
• Par graphique (graphiquement)

Solution

Déterminons le mode :

• Calcul du pari

Etant donné que les amplitudes sont inégales il faut corriger les effectifs

Des classes	ni	ai	Ni'
[150 – 160[	11	dix	5,5*
[160 – 170[	26	dix	13
[170 – 185[	63	15	21
[185 – 190[	81	5	81
[190 – 200[	35	dix	17,5
[200 – 205[	21	5	21
[205 – 210[	13	5	13
total	250	-	-

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