JOEL PRO

CHAPITRE : LES ANNUITES

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Généralités

L’annuité est une suite de versement effectuée à intervalle de temps constant dans l’intention de rembourser une dette ou de constituer un capital.

Les annuités sont généralement des sommes payables à des intervalles de temps constant.

L’intervalle de temps séparant le paiement de deux annuités est appelé période d’où :

si la période est l’année : on parlera d’annuité.
Si la période est le semestre : on parlera de semestrialité.
Si la période est le trimestre ; on parlera de trimestrialité.
Si la période est le mois : on parlera de mensualité.

Les annuités peuvent être versées :

En début de période : c’est le cas des annuités de placement. Dans ce cas, le 1^er versement peut être effectué dès la signature du contrat.
En fin de période : c’est le cas des annuités de remboursement, le 1^er versement ou remboursement intervient à la fin de la période.

Elles peuvent aussi être versées dans le but de :

Constituer un capital : ce sont les annuités de placement ou de capitalisation
Rembourser une dette : c’est le cas des annuités de remboursement.

Les caractéristiques des annuités constantes de fin de période sont les suivantes :

La valeur acquise (V_n) : elle est obtenue immédiatement après le dernier versement.
La valeur actuelle ou d’origine (V_o) : elle est obtenue une période avant la date du premier versement.

Nous aurons la représentation suivante :

Vo a a a a a a a a a (V_n)

0 1 2 3 4 ……………………. n-1 n

La valeur acquise (V_n)

La valeur acquise d’une suite d’annuité constante de fin de période est une suite géométrique ayant les caractéristiques suivante :

De premier terme a (annuité)
De raison (1+i)

D’où V_n = a

NB : L’expression se trouve dans la table financière N°3

Exemple :

Calculez la valeur acquise par une suite de 15 annuités de fin de période de 320 000f chacune au taux de capitalisation de 8%.

Solution :

V_n = a → V_n = 320 000 → V_n = 8 688 676,457f

Remarque : en partant de la formule de la valeur acquise, nous pouvons déterminer le taux et le nombre d’annuité par la relation suivante :

Les logarithmes ou la table financière pour n
La table financière N°3 pour i

Exemple :

18 annuités de 5 000f chacune ont une valeur acquise de 200 000f ; déterminez le taux de capitalisation

Solution

Calcul de l’annuité (a)

Formulation

a = V_n

Exemple : un capital de 24 214 120f a été constitué par le versement de 14 annuités constante de fin de période a été capitalisé au taux annuel de 8%

TAF : calculez le montant de l’annuité constante.

Solution :

Calculons l’annuité constante

Données :

n = 14 ; i = 0,08 ; Vn = 24 214 120

a = V_n → a = 24 214 120 → a = 999 966,9 ≈ 1 000 000f

Calcul du nombre d’annuité

Le nombre d’annuité correspond toujours à un nombre entier. Si sa valeur trouvée est un nombre non entier, on doit procéder par la discussion des hypothèses pour interpréter le nombre d’annuité.

Exemple : combien d’annuité constante de 10 000f faut-il verser pour obtenir par capitalisation au taux de 7% au moment du dernier versement d’une valeur de 150 000f.

Solution :

Déterminons le nombre d’annuité

→ →

D’après la table financière N°3 n est compris entre 10 et 11 versements

Calcul de la valeur actuelle ou d’origine (V_o)

Définition et détermination

On appelle valeur actuelle ou d’origine d’une suite d’annuité constante de fin de période, le total exprimé d’une période avant le versement de la 1^ère annuité. Elle se détermine à travers la formule suivante :

V_o = a

Exemple : calculez la valeur actuelle de 15 annuités de 10 000f chacune au taux d’actualisation de 8% l’an.

Solution :

Calculons la valeur actuelle

V_o = a → V_o = 10 000 → V_o = 85 594,78f

Calcul de l’annuité

Elle se détermine à partir de la formule suivante :

a = V_o

Exemple : 10 annuités constantes actualisées au taux de 10,5% ont pour valeur actuelle 2 000 000 ; calculez le montant de l’annuité.

Solution :

Calculons l’annuité

a = V_o → a = 2 000 000 → a = 332 514,64f

Calcul du taux d’actualisation

Il se détermine à travers la relation suivante :

Calcul du nombre d’annuité

La relation de détermination de n est la même que celle du taux.

Exemple : JOELPRO a emprunté une somme de 10 000 000f remboursable en annuité constante au 01/01/2000 au taux de 10%. Date du premier versement 01/01/2001 montant de l’annuité 1 650 000f. Déterminez le nombre de versement à effectuer par JOELPRO.

Solution :

Déterminons le nombre de versement

→ →

→ 0,6060606 = 1- (1,1)^-n → (1,1)^-n = 1 – 0,6060606

→ (1,1)^-n = 0,393939 → log (1,1)^-n = log 0,393939

→ -n log 1,1 = log 0,393939 → -n =

→ -n = - 9,77 → n = 9,77

N est compris entre 9 et 10 versements

Les annuités de début de période

Capitalisation des annuités de début de période

Lorsque les annuités sont versées en début de période, dans le but de constituer un capital ; on parle d’annuité de début de période. La formule de la valeur acquise est la suivante :

V_n = a

Calcul de l’annuité

De la formule générale, nous tirons celle de l’annuité comme suit :

a = V_n

Exemple : JOELPRO souhaite constituer un capital de 17 000 000f pour le versement de 20 annuités constantes de début de période au taux de 10% l’an. Déterminez le montant de l’annuité constante.

Solution :

Déterminons le montant de l’annuité constante

a = V_n → a = 17 000 000

→ a = 269 808,29f