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L'EQUIVALENCE DES CAPITAUX OU EFFETS

Deux capitaux sont équivalents lorsqu'ils ont la même valeur actuelle. L'égalité des valeurs actuelles est utilisée pour échelonner les paiements ou pour remplacer plusieurs traites par une seule.

Application :

Un commerçant remplace à la demande de son client un effet de 6 000 000f éventuel le 14 avril par un autre effet éventuel le 28 juillet. Ce remplacement est effectué le 15 mars, le taux d'escompte pratiqué est de 12%.

Travail à faire : quel doit être la valeur nominale de l'effet de remplacement pour que le commerçant qui accepte de différer le paiement ne soit pas laisser.

Solution :

Décompte du premier effet :

Du 15/03 au 31/03 = 16 jours

Du 01/04 au 14/04 = 16 jours

Total = 30 jours

Décompte du deuxième effet

Du 15/03 au 31/03 = 16 jours

Du 01/04 au 30/04 = 30 jours

Du 01/05 au 31/05 = 31 jours

Du 01/06 au 30/06 = 30 jours

Du 01/07 au 28/07 = 28 jours

Total = 135 jours

Calculons la valeur nominale

Sachant que : e = . Trouvons d'abord les deux valeurs actuelles

Valeur actuelle 1

Vn1 = V – e ou Vn1 = V - .

AN : Vn1 = 6 000 000 - .

Vn1 = 5 940 000f

Valeur actuelle 2

Vn2 = V - .→ Vn2 = V – 0,045V → Vn2 = 0,955V

Égalisons les deux valeurs actuelles

Vn1 = Vn2

5 940 000 = 0,955V → V = 5 940 000 / 0,955 → V = 6 219 895f

remplacement d'un capital par un autre

Le remplacement d'un règlement ou d'un capital C ₁ d'échéance n ₁ au taux i pour un autre capital C ₂ d'échéance n ₂ n'est légitime que si les valeurs actuelles des deux capitaux sont égales à la date du remplacement.

Exemple : on désire remplacer un règlement de 40 000f qui était prévu dans 3 ans par un autre règlement Y éventuel dans 5 ans.

Calculez la valeur de l'autre règlement Y en prenant comme taux d'escompte 8% l'an.

Solution :

Calculons le règlement Y

Selon le principe de l'équivalence des effets ou des capitaux :

Va ₁ = Va ₂ → 40 000 – (40 000*3*8)/100 = Y – (Y*5*8)/100 → Y = 50 666,67f

remplacement de plusieurs capitaux par un capital unique

Le remplacement de plusieurs capitaux (C _{1 ;} C _{2 ;} …) d'échéance (n _{1 ;} n _{2 ; …} ) au taux i pour un autre capital unique C d'échéance n'est légitime que si la valeur actuelle du capital unique est égale aux valeurs actuelles des autres capitaux à la date du remplacement.

Nous avons la relation suivante :

→Va = ∑Va _n ou Va = Va ₁ + Va ₂ + … + Va _n

→ C – (C*t*n)/100 = [C ₁ –(C ₁ *t*n ₁ )/100] + [C ₂ – (C ₂ *t*n ₂ )/100] + … + [ C _n – C _n *t*n _n )/100]

Exemple : un commerçant décide de remplacer le 01/01/2000 trois capitaux respectivement :

100 000f applicable le 01/01/2002
200 000f applicable le 01/01/2003
150 000f selon le 01/01/2005

Par un capital unique applicable le 01/01/2004

TAF : calculez le capital unique en compte du taux d'escompte de 9%

Solution :

Calculons le capital unique

→ Va = ∑Va _n ou Va = Va ₁ + Va ₂ + … + Va _n

Procédons au décompte des échéances

n ₁ : du 01/01/2000 → 01/01/2002 = 2 ans
n ₂ : du 01/01/2000 → 01/01/2003 = 3 ans
n ₃ : du 01/01/2000 → 01/01/2005 = 5 ans
n : du 01/01/2000 → 01/01/2004 = 4 ans

→ C – (C*9*4)/100 = [100 000 –(100 000*9*2)/100] + [200 000 – (200 000*9*3)/100] + [150 000 – ( 150 000*9*5)/100]

→ C = 485 156,25f

détermination d'une échéance

On décide le 01/01/2000 de remplacer un règlement de 100 000f qui aurait lieu le 01/01/2003 par un règlement qui s'élève à 115 000f. À quelle date avoir lieu le règlement de remplacement. Taux annuel 6%.