JOEL PRO

CHAPITRE 1 : LES INTERETS COMPOSES

Généralités

L'intérêt est défini comme le loyer de l'argent prêté.

En classe de première, nous avons étudié l'intérêt simple, en maintenant nous verrons les intérêts associés qui sont la base de tous les chapitres de la partie financière des mathématiques appliquées en terminale.

Capitalisation et formulation des intérêts composés.

Capitalisation

Soient :

C _n : la valeur acquise
C : l'initiale majuscule
n : la durée de placement
i : le taux d'intérêt pour un franc
I : l'intérêt total produit
In : l'intérêt produit à la nième année c'est-à-dire à l'année n.

Le tableau de la capitalisation à intérêt composé se présente de la manière suivante :

*période*	*Capitalisation début de période*	*intérêt*	*Capitalisation fin de période*
1	C	Ci	*C + Ci ou C (1+i)*
2	*C (1+je)*	**C (1+je)je***	*C(1+i) ²*
3	*C(1+i) ²*	**C (1+je) ² je***	*C(1+i) ³*
-	-	-	-
n	*C(1+i) ^n-1*	**C (1+i) ^n-1 je***	*C (1+i) ⁿ*

Formulation :

Valeur acquise : C _n = C (1+i) ⁿ
Intérêt global : IG = Cn – C ou IG = C [(1+i) ⁿ -1]
Intérêt produit au courant de l'année P : Ip = C(1+i) ^p-1 *i

Calcul de la valeur dans le cas d'un nombre de période n non entier.

Dans le concept de la formule générale, il stipule que la valeur acquise, nous allons toujours considérer que dans cette formule était, n le nombre de période toujours un nombre entier.

Il peut arriver dans certains cas où le nombre de période de placement est un nombre entier. Comme par exemple 3 ans 6 mois.

Cette période est décomposée en deux parties :

Une partie entière qui est de 3 ans,
Une partie fractionnaire qui est du 6/12

Pour résoudre la détermination de la valeur acquise dans un exercice de capitalisation des intérêts composés, deux méthodes peuvent être envisagées lorsque le nombre de période est un nombre entier ; ces méthodes sont :

La méthode rationnelle
La méthode commerciale

La méthode rationnelle

Elle est avantageuse pour le prêteur (celui qui donne de l'argent)

Le principe de cette méthode consiste à calculer la valeur par le capital pour la période correspondante à la partie entière notée K, puis à ajouter à cette valeur acquise l'intérêt qu'elle produit pendant la période correspondante à la partie fractionnaire notée.

Notons que n sera égale à :

p/q

Nous avons le graphique suivant pour illustrer les données :

La valeur acquise de la partie entière K
l'intérêt simple produit par C _k sur la partie fractionnaire sera :
la valeur acquise totale sera

Application :

Vous êtes stagiaire à la JOELPRO SA et le directeur financier vous demandez de déterminer la valeur acquise d'une somme de 5 000 000f placée dans une banque pendant 5 ans 8 mois au taux annuel de 5%.

Solution :

Déterminons la valeur acquise de cette somme déposée en banque

C _{5, 667} = C (1+0,05) ⁵

C _{5, 667} = 6 594 121f

la méthode commerciale

Cette méthode est avantageuse pour l'emprunter (celui qui prend de l'argent)

Elle stipule qu'on doit capitaliser à intérêt composé de la partie entière ainsi que la partie fractionnaire d'où :

Ou C _n = C (1+i) ^k (1+i) ^p/q

Reprenons l'exercice précédent et déterminons la valeur acquise

C _5,667 = 5 000 000 (1+0,05) ⁵ (1+0,05) ^8/12

_{5 667} C = 6 592 387f

Après calcul nous constatons que ce résultat est inférieur à celui trouvé précédemment d'où l'avantage pour l'emprunteur.

Notion de taux équivalent et de taux proportionnel

Notion de taux proportionnel

Deux taux correspondant à des périodes différentes de capitalisation sont dits proportionnels lorsque leur rapport est égal au rapport de leurs périodes de capitaux respectifs. Ainsi :

Le taux semestriel (i _s )
Le taux trimestriel (i _t )
Le taux mensuel (i _m )

Notion de taux équivalent

Deux taux correspondants à des périodes de capitalisation différentes sont dits équivalents lorsque pour une même durée de placement, ils font preuve à des valeurs acquises identiques à intérêt composé. Ainsi :

Le taux semestriel (i _s )

(1 + je _une ) = (1+ je _s ) ² → je _s = – 1

Le taux trimestriel (it)

(1 + je _une ) = (1+ je _t ) ⁴ → je _t = – 1

Le taux mensuel (im)

(1 + je _une ) = (1+ je _m ) ¹² → je _m = – 1

Déterminez les taux mensuels, trimestriels et semestriels équivalents et proportionnels au taux annuel de 15%.

Solution :

Les proportionnels

Le taux semestriel (i _s )
Le taux trimestriel (it)
Le taux mensuel (im)

Les taux équivalents

Le taux semestriel (i _s )

+ je _une ) = (1+ je _s ) ² → je _s = – 1 → je _s = 0,0723

Le taux trimestriel (it)

+ je _une ) = (1+ je _t ) ⁴ → je _t = – 1 → je _t = 0,0355

Le taux mensuel (im)

(1 + je _une ) = (1+ je _m ) ¹² → je _m = – 1 → je _m = 0,0117

Interpolation linéaire sur le taux et sur le temps

On procède à l'interpolation linéaire lorsque le taux d'intérêt ou le temps de placement ne figure pas dans la table financière.

Interpolation linéaire sur le taux

Soient :

t le taux recherché donnant une valeur x de (1 + i) ⁿ ;
t ₁ le taux directement inférieur à t donnant une valeur x ₁ de (1+i) ⁿ ;
t ₂ le taux directement supérieur à t donnant une valeur x ₂ de (1+i) ⁿ correspond à t tel que :

t ₁ < t < t ₂

x ₁ < x < x ₂

D'où la formule suivante :

t = t ₁ + (t ₂ - t ₁ )

Interpolation linéaire sur le temps

Soit :

n : le temps recherché donnant une valeur y de (1+i) ⁿ ;
n ₁ : la durée de placement directement Inférieure à n donnant une valeur y ₁ de (1+i) ⁿ quelconque ;
n ₂ : la durée de placement directement supérieure à n donnant une valeur y ₂ de (1+i) ⁿ quelconque.

Procéder à l'interpolation linéaire consiste à encadrer n de manière à obtenir la valeur y de (1+i) ⁿ correspondant à la durée n ;

Ainsi sur l'aura :

n ₁ < n < n ₂

oui ₁ < oui < oui ₂

D'où la formule suivante :

n = n ₁ + (n ₂ - n ₁ )

actualisation à l'intérêt composé

C'est une opération qui est l'inverse de la capitalisation. Elle conduit à la détermination des notions telles que : l'escompte, la valeur actuelle et l'équivalence

notion de la valeur actuelle à intérêt composé (Va)

Soit :

C : la valeur nominale d'un capital
Va : la valeur actuelle
n : la durée séparant l'échéance à la date de négociation
i : le taux d'intérêt pour 1f

Formulation

Va = C (1+i) ^-n

Exemple : calculez la valeur actuelle d'un capital de 10 000 000f payable dans 5 ans à un taux annuel de 7%.

Solution :

Va = C (1+i) ^-n → Va = 10 000 000 (1+0,07) ^-5 → Va = 7 129 861,79f

notion d'escompte

Un capital C exigible avant son échéance n à un taux i pour un 1f supporte un escompte e qui est égal à la différence entre sa valeur nominale C et sa valeur actuelle Va.

Formulation :

e = C – C (1+i) ^-n → e = C [1 - (1+i) ^-n ]

Exemple : calculez l'escompte produit par un capital de 3 000 000f en 4 années à un taux annuel de 12%.

Solution :

Calculons l'escompte produit

e = C [1 - (1+i) ^-n ] → e = 3 000 000 [1 - (1+0,12) ^-4 ] → e = 1 093 445,77f